数学基础

高等数学

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'()=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(+\Delta x)-f()}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'()=\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f()}{x-}$ （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：$()=\underset{\Delta x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(+\Delta x)-f()}{\Delta x}=\underset{x\to x{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-},(x=+\Delta x)$

右导数：$()=\underset{\Delta x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(+\Delta x)-f()}{\Delta x}=\underset{x\to x{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}{0}})}{x-}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'()$存在$\Leftrightarrow ()=()$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-=f'()(x-)$ 法线方程 : $y-=-\frac{1}{f'()}(x-),f'()\ne 0$

5.四则运算法则 设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则 1. $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$ 2. $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$ 3. $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}}$

6.基本导数与微分表 1. $y=c​$（常数） ${y}'=0​$ $dy=0​$ 2. $y=​$($\alpha ​$为实数) ${y}'=\alpha ​$ $dy=\alpha dx​$ 3. $y=​$ ${y}'=\ln a​$ $dy=\ln adx​$

• 特例:

• $(^{x}}{)}'=^{x}}​$

• $d(^{x}})=^{x}}dx​$

  1. $y=x$

     ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$

     $dy=\frac{1}{x\ln a}dx$

• 特例:

• $y=\ln x$

• $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$

• $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

  1. $y=\sin x$

     ${y}'=\cos x$

     $d(\sin x)=\cos xdx$

  2. $y=\cos x$

     ${y}'=-\sin x$

     $d(\cos x)=-\sin xdx$

  3. $y=\tan x$

     ${y}'=\frac{1}x}=x$

     $d(\tan x)=xdx$

  4. $y=\cot x$

     ${y}'=-\frac{1}x}=-x$

     $d(\cot x)=-xdx$

  5. $y=\sec x$

     ${y}'=\sec x\tan x$

     $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$

  6. $y=\csc x$

     ${y}'=-\csc x\cot x$

     $d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

  7. $y=\arcsin x$

     ${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-}}$

     $d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-}}dx$

  8. $y=\arccos x$

     ${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-}}$

     $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-}}dx$

  9. $y=\arctan x$

     ${y}'=\frac{1}{1+}$

     $d(\arctan x)=\frac{1}{1+}dx$

  10. $y=\operatorname{arc}\cot x$

      ${y}'=-\frac{1}{1+}$

      $d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+}dx$

  11. $y=shx$

      ${y}'=chx$

      $d(shx)=chxdx$

  12. $y=chx$

      ${y}'=shx$

      $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

1. 反函数的运算法则:

   设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}'(x)\ne 0$，

   则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，

   并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

2. 复合函数的运算法则:

   若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu)$在对应点$\mu$($\mu =\varphi (x)$)可导,

   则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导,

   且${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

3. 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

   1. 方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，

      则$y$的函数是$x$的复合函数.

      例如$\frac{1}{y}$，$$，$ln y$，$^{y}}$等均是$x$的复合函数. 对$x$求导应按复合函数连锁法则做.

   2. 公式法.

      由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}}(x,y)}{y}}(x,y)}$,

      其中，$(x,y)$，

      $(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数

   3. 利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

1. $()=a\quad (a>{0})\quad \quad (^{x}})={e}$

2. $(\sin kx{)}=\sin (kx+n\cdot \frac{\pi })$

3. $(\cos kx{)}=\cos (kx+n\cdot \frac{\pi })$

4. $()=m(m-1)\cdots (m-n+1)$

5. $(\ln x)=\frac{(n-{1})!}}$

6. 莱布尼兹公式：

   若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，

   则$=\sum\limits{i={0}}^{n}{c{n}^{i}}$，

   其中$=u$，$=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件： 1. 函数$f(x)$在$$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f()$ 或 $f(x)\ge f()$, 2. $f(x)$在$$处可导,则有 ${f}'()=0$

Th2:(罗尔定理)

设函数$f(x)$满足条件： 1. 在闭区间$[a,b]$上连续； 2. 在$(a,b)$内可导； 3. $f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi$，使 ${f}'(\xi )=0$

Th3: (拉格朗日中值定理)

设函数$f(x)$满足条件： 1. 在$[a,b]$上连续； 2. 在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi$， 使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件： 1. 在$[a,b]$上连续； 2. 在$(a,b)$内可导且${f}'(x)$，${g}'(x)$均存在， 且${g}'(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件： 1. $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$; 2. $f\left( x \right),g\left( x \right)$在$$的邻域内可导 (在$$处可除外)， 3. 且${g}'\left( x \right)\ne 0$; $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则: $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$。

法则${{I}'}$ ($\frac{0}{0}$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件： 1. $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$; 2. 存在一个$X>0$, 当$\left| x \right|>X$时, $f\left( x \right),g\left( x \right)$可导, 3. 且${g}'\left( x \right)\ne 0$; $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则: $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$

法则Ⅱ ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： 1. $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$; 2. $f\left( x \right),g\left( x \right)$在$$ 的邻域内可导(在$$处可除外) 3. 且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty$)。

则 $\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to }{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.$

同理 法则${I{I}'}$($\frac{\infty }{\infty }$型) 仿 法则${{I}'}$ 可写出。

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点$$处的某邻域内具有$n+1$阶导数， 则对该邻域内异于$$的任意点$x$， 在$$与$x$之间至少存在一个$\xi$， 使得：$f(x)=f()+{f}'()(x-)+\frac{1}{2!}{f}''())}^{2}}+ \cdots$ $+\frac()}{n!})}^{n}}+(x)$ 其中 $(x)=\frac(\xi )}{(n+1)!})}^{n+1}}$ 称为$f(x)$在点$$处的$n$阶泰勒余项。

令$=0$，则$n$阶泰勒公式 $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0)+\cdots$ $+\frac(0)}{n!}+(x)$……(1) 其中 $(x)=\frac(\xi )}{(n+1)!}$，$\xi$在0与$x$之间。 (1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在$=0$处的泰勒公式

1. $^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+\frac}{(n+1)!}$

   或 $=1+x+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}+o()$

2. $\sin x=x-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

   或 $=x-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o()$

3. $\cos x=1-\frac{1}{2!}+\cdots +\frac}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

   或 $=1-\frac{1}{2!}+\cdots +\frac}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o()$

4. $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac}{n}+\frac}{(n+1)}$

   或 $=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac}{n}+o()$

5. $=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}$

   或 $=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}+\cdots$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}+o()$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,'(x)>0$（或$f\,'(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在$$处可导，且在$$处取极值，则$f\,'()=0$。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在$$的某一邻域内可微，且$f\,'()=0$（或$f(x)$在$$处连续，但$f\,'()$不存在。） 1. 若当$x$经过$$时，$f\,'(x)$由“$+$”变“$-$”，则$f()$为极大值； 2. 若当$x​$经过$​$时，$f\,'(x)$由“$-$”变“$+$”，则$f()$为极小值； 3. 若$f\,'(x)$经过$x=$的两侧不变号，则$f()$不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点$$处有$f''(x)\ne 0$，且$f\,'()=0$， 则 当$f'\,'()0$时，$f()$为极小值。 注：如果$f'\,'()<0$，此方法失效。

13.渐近线的求法

1. 水平渐近线 若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则 $y=b$ 称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

2. 铅直渐近线 若$\underset{x\to x{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，则 $x=$ 称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

3. 斜渐近线 若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则 $y=ax+b$ 称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f''(x)0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在$$处$f''(x)=0$，（或$f''(x)$不存在），当$x$变动经过$$时，$f''(x)$变号，则$(,f())$为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在$$点的某邻域内有三阶导数，且$f''(x)=0$，$f'''(x)\ne 0$，则$(,f())$为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y}dx$

16.曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{\left| y'' \right|})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。 对于参数方程$\begin{cases} x=\varphi (t) \ y=\psi (t) \ \end{cases},$ $k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}(t)+\psi (t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

17.曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。

线性代数

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